Question

已知椭圆 的离心率为 ，且过点

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若 ．

(i)求 的最值：

（i i）求证：四边形ABCD的面积为定值．

Answer

(Ⅰ) (Ⅱ) （ⅰ）2， （i i）见解析

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 由离心率为 知= ，将点 代入椭圆方程，又可得到关于a，b的方程，结合即可求出的值，得到椭圆方程；(Ⅱ) （ⅰ）设出点A，B的坐标及直线AB的方程，将直线AB的方程代入椭圆方程，化为关于x的二次方程，利用点A、B的横坐标分别为该二次方程的解，则判别式大于等于0，且利用韦达定理，将横坐标之和和之积用参数表示出来，利用直线的斜率公式将直线OA、OB的斜率用参数表示出来，在利用条件找出参数的关系式，利用向量数量积坐标公式将用参数表示出来，将其化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法的最值；（i i）由椭圆的对称性知四边形ABCD为平行四边形，故四边形ABCD的面积化为4个△OAB，利用点到直线距离公式距离公式和弦长公式求出△AOB为定值，就证明了四边形ABCD的面积为定值．

试题解析：(Ⅰ)由题意又

解得，故椭圆的标准方程为 （4分）

(Ⅱ)设直线AB的方程为

联立，得

①

又===，

(8分)

（ⅰ）

当（此时满足①式），即直线AB平行于轴时，

的最小值为－2．

又直线AB的斜率不存在时，，∴的最大值为2．

（ⅱ）设原点到直线AB的距离为，则

==

====，

∴S四边形ABCD = 4SΔAOB = ，

即四边形ABCD的面积为定值． ．（12分）

考点：椭圆的标准方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积，设而不求思想，运算求解能力