Question

设函数

(Ⅰ)若，是否存在k和m，使得 ，，若存在，求出k和m的值，若不存在，说明理由

(Ⅱ)设 有两个零点 ，且 成等差数列， 是 G (x)的导函数，求证：

Answer

(Ⅰ) 存在k=2，m=-1；(Ⅱ)见解析

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 先求，然后根据条件很容易求出a，b，此时会发现和图象有一个公共点（1，1），根据问题：是否存在k和m，使得，，也就是找到一条直线要同时满足这两个不等式．根据存在的公共点可以想到是否是过这一点的直线，故先求出还在（1，1）的切线，然后去验证它是否同时满足，即可．(Ⅱ)先求出，根据条件x1，x2是它的两个零点，所以x12−alnx1−bx1+2＝0且x22−alnx2−bx2+2＝0．根据所要证的结论：，所以需要求，利用x1+x2=2x0，将用x1，x2表示出来，然后判断它是否大于0即可．

试题解析：(Ⅰ)=，=，由得：a+b＝2， b＝1，解得，解得a=b=1．∴=．

因与有一个公共点（1，1），易求得函数=在点（1，1）的切线方程为．

下面验证，都成立即可．

设h（x）=lnx+x-(2x-1)=lnx-x+1，所以=＝．

x∈（0，1）时，＞0；x∈（1，+∞）时，＜0，∴x=1时，取最大值=0；

∴lnx+x≤2x-1恒成立，即≤2．

由于，得，∴≥恒成立．

故存在这样的k，m，且k=2，m=-1． 6分

(Ⅱ) 因为==，有两个零点x1，x2，

则x12−alnx1−bx1+2＝0且x22−alnx2−bx2+2＝0，

两式相减得，x12− x22-a(lnx1− lnx2)-b(x1−x2)＝0，

所以=，又因为x1+x2=2x0，

因为=，所以===

==，

当0＜＜时，令=，则＞1，且=，

设=（t＞1），所以==＞0，所以在[1，+）上是增函数，

所以当t＞1时，＞=0，即＞0，

又因为a＞0，＞0，所以＞0，

当时，同理可证＞0，

综上所述＞0， 12分

考点：常见函数的导数，导数的运算法则，函数的切线，函数零点，导数的综合运用，运算求解能力，推理论证能力，转化与化归思想