Question

设函数.

（1）求的单调区间和极值；

（2）若，当时，在区间内存在极值，求整数的值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）此问为导数的基础题型，先求，令，求极值点，然后解与，列出的变化表格，从而很容易确定单调区间，以及极值;

（2）代入得到,先求,从无法确定函数的极值点，所以求其二阶导数，令， ，当时，恒成立，在为单调递减函数，那么的值为极值点，因为是正整数，所以从开始判定符号，,,即为极值点的区间.

（1）令，解得，

根据的变化情况列出表格:

(0,1)

1

+

0

_

递增

极大值

递减

由上表可知函数的单调增区间为（0,1），递减区间为，

在处取得极大值，无极小值.. 5分

（2）,,

令， ，

因为恒成立，所以在为单调递减函数，

因为

所以在区间上有零点 ,且函数在区间和上单调性相反，

因此，当时，在区间内存在极值.所以. 12分

考点：1.根据导数求函数的极值点；2.根据导数求函数的单调区间.