Question

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，

底面

（1）证明：平面平面;

（2）若二面角大小为，求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据所给数值，满足勾股定理，所以，,又根据底面，易证,所以面,然后根据面面垂直的判定定理，面,即证两面垂直;

（2） ∠即为二面角的平面角，即∠根据已知两两垂直，所以可以以为原点，如图建立空间直角坐标系，设平面的法向量为,利用公式

（1）∵ ∴

又∵⊥底面 ∴

又∵ ∴平面

而平面 ∴平面平面 4分

（2）由（1）所证，平面 ,所以∠即为二面角的平面角，即∠

而，所以

因为底面为平行四边形，所以,

分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．

则，，， ,

所以，，，,

设平面的法向量为，则即

令则

∴与平面所成角的正弦值为 12分

考点：1.面面垂直的判定定理；2.空间向量解决线面角.