Question

已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，设点A为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线

（1）求曲线C的方程，

（2）直线l与直线l，垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．

Answer

（1） ;（2）

【解析】

试题分析：（1）此题考察轨迹方程，考察代入法的习题，根据圆心到直线的距离等于半径，可以求出圆的半径，即知道圆的方程，设动点,,,利用公式 ，写出向量相等的坐标表示，利用,代入，得到关于的方程；

（2）利用直线方程与椭圆方程联立，和点到直线的距离公式，得出面积，并求出最大值.

（1）设动点，因为轴于，所以，

设圆的方程为，由题意得， 所以圆的程为.

由题意, ，所以，

所以即

将代入圆,得动点的轨迹方程

（2）由题意可设直线，设直线与椭圆交于，

联立方程得，

，解得， ，

又因为点到直线的距离， .（当且仅当即 时取到最大值） 面积的最大值为.

考点：1.代入法求轨迹方程;2.直线方程与圆锥曲线联立；3.弦长公式.