Question

如图，在四棱锥中，底面是矩形， 平面，，,于点．

(1) 求证：；

(2) 求直线与平面所成的角的余弦值.

Answer

(1)答案详见解析；（2）

【解析】

试题分析：(1)要证明线线垂直，可考虑先证明直线和平面垂直，该题先证明平面，从而得到，又，故可证明平面，进而证明；（2）求直线和平面所成的角，需先找后求，同时要有必要的证明过程，该题中直线和平面所成的角不易找到，故可采取转化法，先求点到平面的距离，再利用，求得所求角的正弦值，进而求余弦值．故求点到平面的距离成为解题关键，可利用等体积转化法进行．

试题解析：(1)证明：∵ 平面，平面,∴.

∵，平面,平面,

∴平面.

∵平面

∴， 3分

∵, ,平面,

平面,∴平面.

∵平面,∴. 6分

（2）【解析】
由（1）知，，又，

则是的中点,在Rt△中, 得，

在Rt△中,得,

∴.

设点到平面的距离为，由， 8分

得.解得， 10分

设直线与平面所成的角为，

则， 12分

∴.

∴直线与平面所成的角的余弦值为. 14分

考点：1、直线和平面垂直的判断；2、直线和平面垂直的性质定理；3、直线和平面所成的角.