Question

已知函数,．

（1）求函数在上的最小值；

（2）若存在是自然对数的底数，，使不等式成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）答案详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）求函数在给定区间上的最值问题，先求的根，再跟定义域比较，若根在区间外或端点处，则函数在给定区间上单调，利用单调性求最值；若根是内点，则分段考虑导函数符号，并画出函数大致图像，借助图象直观求出最值，该题中的根为，当时，函数单调，当时，分段考虑导函数符号，进而求解；（2）由题意知，问题可转化为在上有解，利用参变分离法得，有解，进而转化为求的最大值问题处理．

试题解析：（1） 1分

在为减函数，在为增函数

①当时，在为减函数，在为增函数， 4分

②当时，在为增函数， 7分

（2）由题意可知，在上有解，即在上有解

令，即 9分

在为减函数，在为增函数，则在为减函数，在为增函数 13分

15分

考点：1、利用导数求函数的极值、最值；2、导数在单调性上的应用.