Question

如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=.

（1）若，求证：AB∥平面CDE；

（2）求实数的值，使得二面角AECD的大小为60°．

Answer

（1）答案详见解析；（2）

【解析】

试题分析：空间向量在立体几何中的应用，最大的优点就是避开了传统立体几何中“如何添加辅助线”这个难点，使得操作更模式化、易操作.需根据已知条件寻找（或添加）三条共点的两两垂直的三条垂线，分别作为轴，建立空间直角坐标系.（1）由已知，以的方向作为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标表示有关点，要证明AB∥平面CDE，只需证明垂直于面CDE的法向量即可．本题还可以利用线面垂直的判定定理证明；（2）分别求出面和面的法向量，并求法向量的夹角，利用余弦值等于列方程，求即可．

试题解析：（1）如图建立空间指教坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,),

2分

设平面的一个法向量为，

则有，

取时， 4分

，又不在平面内，所以平面； 7分

（2）如图建立空间直角坐标系，则

A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,),

，

设平面的一个法向量为，

则有，取时， 9分

又平面的一个法向量为， 10分

因为二面角的大小为，，

即，解得 14分

又，所以． 15分

考点：１、直线和平面平行的判定定理；2、二面角的求法.