Question

如图，在平面内，，AB=2BC=2，P为平面外一个动点，且PC=，

（1）问当PA的长为多少时，

（2）当的面积取得最大值时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由分析可知当时，，则，由勾股定理可求得。（2）因为为定值，且，，所以当时，的面积取得最大值。分析可知均是以为底的等腰三角形，故取中点，连接。则有，从而可得。过作，E为垂足，从而可得，所以就是直线与平面所成角，在中即可求此角。

试题解析：（1）因为，所以，当时，，而，所以时，此时，，即当=时，

（2）

在中，因为PC=，，，所以，.当的面积取得最大值时，，（如图）在中，因为，取中点，连接。因为且点为中点，所以，因为，所以,由此可求得，又在中，，所以，过作，E为垂足，由于，所以，，由两个平面互相垂直的性质可知：，所以就是直线与平面所成角，在中，可求得，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值是.

考点：1线线垂直、线面垂直；2线面角。