Question

设椭圆C₁：的右焦点为F，P为椭圆上的一个动点．

（1）求线段PF的中点M的轨迹C₂的方程；

（2）过点F的直线l与椭圆C₁相交于点A、D，与曲线C₂顺次相交于点B、C，当时，求直线l的方程．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）设点，而，根据为中点，可得将其代入椭圆方程整理可得点的轨迹方程。（2）为了省去对直线斜率的讨论，可设直线方程为，分别与两曲线方程联立消去得关于的一元二次方程，有求根公式可得方程的根，即各点的纵坐标。由已知，可得，即。从而可得的值。

试题解析：（1）设点，而，故点的坐标为，代入椭圆方程得：，即线段PF的中点M的轨迹C2的方程为：

（2）设直线l的方程为：，解方程组，，当时，则，解方程组

，，由题设，可得，有，所以=，即（），由此解得：，故符合题设条件的其中一条直线的斜率；当时，同理可求得另一条直线方程的斜率，故所求直线l的方程是.

考点：1代入法求轨迹问题；2直线和圆锥曲线的位置关系问题；3直线方程。