Question

已知函数，（）

（1）对于函数中的任意实数x，在上总存在实数，使得成立，求实数的取值范围

（2）设函数，当在区间内变化时，

（1）求函数的取值范围；

（2）若函数有零点，求实数m的最大值.

Answer

（1）；（2）（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）分析可知原命题，分别求导令导数等于0，讨论导数的正负，导数大于0得增区间，导数小于0得减区间，再根据单调性求最值。（2）（1），先求导得，可看成关于的一次函数，因为可得，即用导数讨论和的单调性，用单调性求其最值。从而可得得范围。（2）时函数有零点，说明存在使。由（1）可知在为单调递减函数，所以函数，同（1）可得时的最大值是，比较和的大小得函数的最大值从可得的最大值。

试题解析：（1）原命题，先求函数的最小值，令，得.当时，；当时，，故当时，取得极（最）小值，其最小值为；而函数的最小值为m,故当时，结论成立

（2）（1）：由，可得，把这个函数看成是关于的一次函数，（1）当时，，因为，故的值在区间上变化，令，，则，在为增函数，故在最小值为，又令，同样可求得在的最大值，所以函数在的值域为。

（2）（2）当时，的最大值，故对任意，在均为单调递减函数，所以函数

当时，因为，，故的值在区间上变化，此时，对于函数，存在，在单调递减，在单调递增，所以，在的最大值为，因为，，所以，故的最大值是，又因为，故当函数有零点时，实数m的最大值是.

考点：用导数研究函数的单调性。