Question

已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若在上恒成立，求所有实数的值；

（3）对任意的，证明：

Answer

（1）当时，，减区间为；当时，递增区间为，递减区间为；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用导数判断函数的单调性，就是在定义域内考虑 导函数的符号，先求导函数得，，令，得，讨论根与定义域的关系，当时，，减区间为；当时，将定义域分段，分别考虑导函数的符号，即得函数的单调区间；（1）只需函数的最大值小于等于0即可，由（1）得，当时，减区间为，且，故不满足；当时，，记，可求得，故，故；（3）由（2）得，当且仅当时，恒成立，即，又，结合起来证明即可.

试题解析：（1）， 1分

当时，，减区间为 2分

当时，由得，由得 3分

∴递增区间为，递减区间为 4分

（2）由（1）知：当时，在上为减区间，而

∴在区间上不可能恒成立 5分

当时，在上递增，在上递减，

，令， 6分

依题意有，而，且

∴在上递减，在上递增，

∴，故 9分

（3）由（2）知：时，且恒成立

即恒成立

则

11分

又由知在上恒成立，

∴ 13分

综上所述：对任意的，证明： 14分

考点：1、利用导数判断函数的单调性；2、利用导数求函数的极值和最值.