Question

如图，在四棱锥中，底面为矩形，.

（1）求证，并指出异面直线PA与CD所成角的大小；

（2）在棱上是否存在一点，使得？如果存在，求出此时三棱锥与四棱锥的体积比；如果不存在，请说明理由.

Answer

(1);(2)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)要证明,只需证明面,利用面,推出,又因为矩形,得到,从而易证面；若证得面，显然与的角为直角；

（2）当点为中点时，与交于点0，易证,使面,利用体积的转化得到，，最终得到三棱锥与四棱锥的体积比.

试题解析：（1）∵，，

∴ 2分

∵四边形为矩形， ∴，

又， ∴ 4分

故， ∴ 5分

PA与CD所成的角为 6分

（2）当点E为棱PD的中点时， 6分

下面证明并求体积比：

取棱PD的中点E，连接BD与AC相交于点O，连接EO.

∵四边形为矩形，∴O为BD的中点

又E为棱PD的中点， ∴.

∵，

∴ 8分

当E为棱PD的中点时，，

又， ∴

考点：1.线线垂直于线面垂直的证明；2.体积的转化.