Question

已知，函数．

（Ⅰ）当时，

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围；

（Ⅱ）已知曲线在其图象上的两点，（）处的切线分别为．若直线与平行，试探究点与点的关系，并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）(1) 单调递增区间为 ;(2) ;(Ⅱ)详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）(1)根据求出的值，然后利用,得到函数在定义域内都是单调递增的，从而写出其单调区间;

(2)当时，将不等式化简，整理为在区间上有解问题，可以反解,利用不等式在区间上有解，即大于等于其最小值，转化为求在区间上的最小值，

（Ⅱ）的对称中心为,故合情猜测，若直线与平行，则点与点关于点对称．然后对猜测进行证明，首先求其两点处的导数，即两切线的斜率，利用平行及斜率相等，证明,.

试题解析：（Ⅰ）（1）因为，所以， 1分

则，

而恒成立，

所以函数的单调递增区间为． 4分

（2）不等式在区间上有解，

即不等式在区间上有解，

即不等式在区间上有解，

等价于不小于在区间上的最小值． 6分

因为时，，

所以的取值范围是． 9分

Ⅱ.因为的对称中心为，

而可以由经平移得到，

所以的对称中心为,故合情猜测，若直线与平行，

则点与点关于点对称． 10分

对猜想证明如下：

因为，

所以，

所以，的斜率分别为，．

又直线与平行，所以，即，

因为，所以，， 12分

从而，

所以．

又由上 ，

所以点，（）关于点对称．

故当直线与平行时，点与点关于点对称． 14分

考点：1.利用导数求其单调区间；2.导数的几何意义的综合问题.