Question

如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（1）求二面角B-AF-D的大小；

（2）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F^-ABCD公共部分的体积.

Answer

(1)(2).

【解析】

试题分析：（1）方法一：连接交于菱形的中心，过作，为垂足，连接，根据定义可知为二面角的平面角，在三角形中求出此角即可；

方法二：设与交点为，以为坐标原点，分别以所在直线为轴轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设平面，平面的法向量分别为,利用的公式进行计算.

（2）连接，设直线与直线相交于点，则四棱锥与四棱锥的公共部分为四棱锥，过作平面，为垂足，然后求出，利用体积公式求解即可．

试题解析：（1）方法一：如图（1）连结AC、BD交于菱形的中心O，过O

作OG⊥AF，G为垂足. 连结BG、DG.

由BD⊥AC，BD⊥CF，得BD⊥平面ACF， 故BD⊥AF. 于是AF⊥平面BGD，

所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B-AF-D的平面角. 3分

由FC⊥AC，FC=AC=2，得∠FAC，.

由OB⊥OG，OB=OD=，得∠BGD=2∠BGO.

即二面角B-AF-D的大小为. 6分

方法二：设AC与BD交点为O，以O为坐标原点，分别以BD 、AC所在直线为x轴

y轴建立如图所示的空间直角坐标系

则A(0，－1，0)，B(，0，0)，D(，0，0)，F(0，1，2)

，， 2分

设平面ABF，平面ADF的法向量分别为

设

由

令 4分

同理可得 ∴ ∴

∴二面角B－AF－D的大小为 6分

（2）如图（2）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，

则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD.

过H作HP⊥平面ABCD，所以平面ACFE⊥平面ABCD，

从而. 7分

由，得. 9分

又因为

故四棱锥的体积. 12分

考点：1.二面角的计算；2.几何体的体积.