Question

已知是各项为不同的正数的等差数列，成等差数列，又．

（1）证明：为等比数列；

（2）如果数列前3项的和为，求数列的首项和公差；

（3）在（2）小题的前题下，令为数列的前项和，求．

Answer

（1）证明详见解析；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）设数列的公差为，根据成等差及的通项公式得到，进而根据等差数列的通项公式得到即，进而得到，从而可证明得数列为等比数列；（2）根据（1）中求得的及即可计算出、的值；（3）由（1）（2）中的计算得到，，进而可得，该通项是一个等差与一个等比的通项公式相乘所得，故用错位相减法进行求和即可．

试题解析：（1）设数列的公差为，由成等差数列得，所以

所以，所以

因为，所以 2分

∴，则

∴且

∴为等比数列 4分

（2）依条件可得，解得，所以 7分

（3）由（2）得， 9分

作差得

14分．

考点：1．等差数列的通项公式；2．等比数列的通项公式及前项和公式；3．应用错位相减法进行数列求和．