Question

已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，a＝2，且·＝．

（1）若△ABC的面积S＝，求b＋c的值．

（2）求b＋c的取值范围．

Answer

（1）4;（2）2，4

【解析】

试题分析：（1）由＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，且·＝．可求得角A的值，又因为△ABC的面积S＝，a＝2，在三角形中利用余弦与三角形的面积公式，即可解出b,c的值或者直接构造b+c，即可得到结论．

（2）由（1）可知角A，以及边长．用角B结合正弦定理分别表示出b,c．再结合角B的范围，求出b+c的取值范围即可．

（1）∵＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，且·＝，

∴－cos2＋sin2＝，即－cosA＝，

又A∈(0，π)，∴A＝． …………3分

又由S△ABC＝bcsinA＝，所以bc＝4，

由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos＝b2＋c2＋bc，

∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4．………7分

（2）由正弦定理得：＝＝4，又B＋C＝－A＝，

∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(－B)＝4sin(B＋)， 12分

∵0＜B＜，则＜B＋＜，则＜sin(B＋)≤1，即b＋c的取值范围是2，4…．．14分

考点：1．三角函数恒等变换．2．正余弦定理的应用．3．三角函数最值的求法．