Question

如图，在三棱锥中，直线平面，且

，又点，，分别是线段，，的中点，且点是线段上的动点．

证明：直线平面；

(2) 若，求二面角的平面角的余弦值．

Answer

(1)参考解析；(2)

【解析】

试题分析：（1）点，，分别是线段，，的中点所以, 平面PAC．所以平面PAC．同理证明MN 平面PAC．又由于．所以平面QMN平面PAC．又平面QMN．所以直线平面．

（2）根据已知条件建立坐标系，写出关键点的坐标，并写出相应的向量，计算平面QAN与MAN的法向量，求法向量的夹角，即可得到结论．

（1）．连结QM 因为点，，分别是线段，，的中点

所以QM∥PA MN∥AC QM∥平面PAC MN∥平面PAC

因为MN∩QM=M 所以平面QMN∥平面PAC QK平面QMN

所以QK∥平面PAC 7分

（2）方法1：过M作MH⊥AN于H，连QH，则∠QHM即为

二面角的平面角, 令

即QM=AM=1所以

此时sin∠MAH=sin∠BAN= MH= 记二面角的平面角为

则tan= COS=即为所求。 14分

方法2：以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系，设

则A（0,2,0），M（0,1，0），N（1,0,0），p(0,2,2),Q(0,1,1),

=(0,-1,1),

记，则

取

又平面ANM的一个法向量，所以cos=

即为所求。 14分

考点：1．线面平行．2．面面平行．3．二面角的知识．