Question

已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，．

（1）求抛物线的方程；

（2） 设点是抛物线上的两点，的角平分线与轴垂直，求的面积最大时直线的方程．

Answer

（1）;（2）

【解析】

试题分析：（1）由于点是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，假设点，再通过，可得一个关于与的关系式，在结合抛物线方程即可求出．从而求得抛物线的方程．

（2）因为的角平分线与轴垂直，所以可知的倾斜角互补，即的斜率互为相反数．所以假设直线PA，联立抛物线方程即可得到点A的坐标，类比地求出点B的坐标．结合韦达定理，可以得到直线AB的斜率为定值-1．通过假设直线AB的方程，联立抛物线的方程，应用点到直线的距离，即可表示三角形的面积．再通过求最值即能到结论．

（1）设，因为，由抛物线的定义得，又，所以，

因此，解得，从而抛物线的方程为．

（2）由（1）知点的坐标为，因为的角平分线与轴垂直，所以可知的倾斜角互补，即的斜率互为相反数

设直线的斜率为，则，由题意，

把代入抛物线方程得，该方程的解为4、，

由韦达定理得，即，同理，

所以，

设，把代入抛物线方程得，

由题意，且，从而

又，所以，点到的距离，

因此，设，

则，

由知，所以在上为增函数，因此，

即面积的最大值为．

的面积取最大值时，所以直线的方程为．

考点：1．抛物线的性质．2．函数的最值．3．等价变换．4．圆锥曲线与函数知识的交汇．