Question

已知（）

（1）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围；

（2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得在上恰有两个极值点，且满足，若存在，求实数的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）不存在，参考解析

【解析】

试题分析：（1）由已知（），若方程有3个不同的根，则可得到或对两个方程分别讨论即可到结论.

（2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得在上恰有两个极值点，通过对函数求导，判断导函数的根的情况，通过换元使得等式简洁些.要满足，由于，所以可得，通过验证根是否存在.即可得到结论.

（1）【解析】
由得：或

可得或且

∵方程有3个不同的根，

∴方程有两个不同的根

∴

又∵，且要保证能取到0∴ 即

∴．

（2）【解析】
∵

令，设

∴

∵ ∴ ∴

∵ ∴， ∴

∴存在，使得，另外有，使得

假设存在实数，使得在上恰有两个极值点，且满足

则存在，使得，另外有，即

∴，∴，即

即 （*）

设

∴

∵ ∴

∴ ∴在上是增函数

∴

∴方程（*）无解，

即不存在实数，使得在上恰有两个极值点，且满足

考点：1.函数与x轴的交点与方程的根的问题.2.函数的极值.3.等价转化的思想.4.函数的最值问题.