Question

如图，在三棱锥中，直线平面，且

，又点，，分别是线段，，的中点，且点是线段上的动点.

(1)证明：直线平面；

(2)若，求二面角的平面角的余弦值.

Answer

(1)参考解析；(2)

【解析】

试题分析：（1）点，，分别是线段，，的中点所以,平面PAC.所以平面PAC.同理证明MN平面PAC.又由于.所以平面QMN平面PAC.又平面QMN.所以直线平面.

（2）根据已知条件建立坐标系，写出关键点的坐标，并写出相应的向量，计算平面QAN与MAN的法向量，求法向量的夹角，即可得到结论.

试题解析：（1）.连结QM因为点，，分别是线段，，的中点

所以QM∥PAMN∥ACQM∥平面PACMN∥平面PAC

因为MN∩QM=M所以平面QMN∥平面PACQK平面QMN

所以QK∥平面PAC··············7分

（2）方法1：过M作MH⊥AN于H，连QH，则∠QHM即为

二面角的平面角,令即QM=AM=1所以

此时sin∠MAH=sin∠BAN=MH=记二面角的平面角为

则tan=COS=即为所求。···········14分

方法2：以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系，设

则A（0,2,0），M（0,1，0），N（1,0,0），p(0,2,2),Q(0,1,1),

=(0,-1,1),

记，则

取

又平面ANM的一个法向量，所以cos=

即为所求。 14分

考点：1.线面平行.2.面面平行.3.二面角的知识.