Question

四棱锥底面是菱形，，,分别是的中点.

（1）求证:平面⊥平面；

（2）是上的动点，与平面所成的最大角为，求二面角的正切值.

Answer

（1）参考解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）由已知可得直线AE垂直于BC，即可得到AE垂直于AD，又因为PA垂直于AE.所以可得AE垂直于平面PAD.即可得平面要证平面⊥平面.

（2）通过点E作EG垂直于AF，EQ垂直于AC，连结QG即可证得为所求的二面角的平面角.由与平面所成的最大角为.可得AE=AH.即可得EQ,QG的大小.从求得的正切值，即二面角的正切值.

试题解析：（1）设菱形ABCD的边长为2a，则AE=

,∴AE⊥BC,又AD||BC,∴AE⊥AD.∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AE,AE⊥面PAD,∴面AEF⊥面PAD.

（2）过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ,EQ⊥面PAC，则∠EGQ是二面角E－AF－C的平面角.

过点A作AH⊥PD，连接EH，∵AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成的最大角.

∵∠AHE＝，∴AH＝AE＝，AH﹒PD＝PA﹒AD，2a﹒PA=﹒,PA=2,PC=4a,EQ=,CQ=,GQ=,tan∠EGQ=.

考点：1.面面垂直的判定.2.动点问题.3.二面角问题.