Question

抛物线，直线过抛物线的焦点，交轴于点.

（1）求证：；

（2）过作抛物线的切线，切点为（异于原点），

（i）是否恒成等差数列，请说明理由；

（ii）重心的轨迹是什么图形，请说明理由.

Answer

（1）即证（2）能抛物线

【解析】

试题分析：（1）由于点F的坐标已知，所以可假设直线AB的方程（依题意可得直线AB的斜率存在）.写出点P的坐标，联立直线方程与抛物线方程消去y，即可得到一个关于x的一元二次方程，写出韦达定理，再根据欲证转化为点的坐标关系.

（2）（i）根据提议分别写出，结合韦达定理验证是否成立.

（ii）由三角形重心的坐标公式，结合韦达定理，消去参数k即可得到重心的轨迹.

试题解析：（1）因为，所以假设直线AB为，，所以点.联立可得，，所以.因为，.所以.

（2）（i）设，的导数为.所以可得，即可得.即得.

..所以可得即是否恒成等差数列.

（ii）因为重心的坐标为由题意可得.即，消去k可得.

考点：1.抛物线的性质.2.解方程的思想.3.等差数列的证明.4.三角形的重心的公式.5.运算能力.6.分析问题和解决问题的能力、以及等价转化的数学思想.