Question

在几何体ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1.

（1）设平面ABE与平面ACD的交线为直线，求证：∥平面BCDE；

（2）设F是BC的中点，求证：平面AFD⊥平面AFE；

（3）求几何体ABCDE的体积.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）2.

【解析】

试题分析：（1）根据两条直线同垂直于一个平面，这两条直线平行可得DC//EB，再有直线与平面平行的判定定理得出直线DC∥平面ABE，由于是平面ABE与平面ACD的交线，可得DC∥，又由直线与平面平行的判定定理∥平面BCDE．（2）先证AF⊥平面BCDE，再证FD⊥平面AFE，最后证明平面AFD⊥平面AFE．（3）由等体积公式求解，即.

【证】（1）∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，

∴DC//EB，又∵DC平面ABE，EB平面ABE，

∴DC∥平面ABE，

平面ABE平面ACD，则DC∥，

又平面BCDE，CD平面BCDE，

所以∥平面BCDE．（4分）

【解】（2）在△DEF中，，由勾股定理知，

由DC⊥平面ABC，AF平面ABC，∴DC⊥AF，

又∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，

又∵DC∩BC=C，DC平面BCDE ，BC平面BCDE，

∴AF⊥平面BCDE，∴AF⊥FD，又∵AF∩FE=F，∴FD⊥平面AFE，

又FD平面AFD，故平面AFD⊥平面AFE.（9分）

（3）==2．（13分）

考点：空间中的线线、线面、面面平行于垂直，三棱锥的体积.