Question

已知函数（为常数）．

（1）若是函数的一个极值点，求的值；

（2）当时，试判断的单调性；

（3）若对任意的 ，使不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）3；（2）在上是增函数；（3）.

【解析】

试题分析：（1）先求函数的定义域，，在由可求得；（2）在中由于，判断函数的正负号，从而确定函数在上的单调性；（3）当时，由(2)知，在[1，2]上的最小值为，

故问题等价于：对任意的，不等式恒成立．分离变量恒成立，构造函数

记，（），由导数法求解.

依题意，，

（1）由已知得：，∴，∴．（3分）

（2）当时，，

因为，所以，而，即，

故在上是增函数．（8分）

（3）当时，由(2)知，在[1，2]上的最小值为，

故问题等价于：对任意的，不等式恒成立．即恒成立

记，（），则，

令，则

所以，所以,

故，所以在上单调递减所以

即实数的取值范围为．（13分）

考点：导数法求函数的单调性，构造法.