Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥面ABC，AA₁=a，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D为AA₁中点.

（1）求证：CD⊥面ABB₁A₁；

（2）在侧棱BB₁上确定一点E，使得二面角E-A₁C₁-A的大小为.

Answer

（1）详见解析；（2）点满足.

【解析】

试题分析：（1）由面ACC1A1⊥面ABCAB⊥面ACC1A1AB⊥CD，由D为AA1中点，AC=A1C可推出CD⊥AA1 ，从而得到CD⊥面ABB1A1.（2）由题意，以点C为坐标系原点，CA为x轴，过C点平行于AB的直线为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，求平面面A1C1A的一个法向量、平面EA1C1的一个法向量，利用向量法求解.

（1）【证】∴面ACC1A1⊥面ABC，AB⊥AC

∴AB⊥面ACC1A1，即有AB⊥CD；

又AC=A1C，D为AA1中点，则CD⊥AA1 ∴CD⊥面ABB1A1.（6分）

（2）【解】如图所示以点C为坐标系原点，CA为x轴，过C点平行于AB的直线为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，则有A(a,0,0),B(a,a,0),A1(0,0,a), B1(0,a,a)

C1(-a,0,a)，设，且，

即有

所以E点坐标为

由条件易得面A1C1A的一个法向量为

设平面EA1C1的一个法向量为，

由可得

令y=1，则有，（9分）

则，得，

∴当时，二面角E-A1C1-A的大小为.（12分）

考点：空间中的线线垂直、线面垂直、面面垂直，向量法求解空间角.