Question

已知P是圆M：x²+y²+4x+4-4m²=0(m>0且m≠2)上任意一点，点N的坐标为(2，0)，线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.

（1）求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；

（2）当m=时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；

当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为；

（2）定点，定值为6.

【解析】

试题分析：（1）利用线段的垂直平分线交直线于点，当时，根据椭圆的定义，即可求出轨迹的方程；当时，根据双曲线的定义，即可求出轨迹的方程；（2）当时，轨迹必为椭圆方程，设，分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD，，根据求出E若存在必为定值为6.再进行证明．存在性问题，先猜后证是关键.再设设过点E的直线方程，代入椭圆方程，消去，设，，利用一元二次方程的根与系数的关系，求得为定值6.

（1）由题意，，所以，

所以轨迹是以、为焦点，以为长轴的椭圆，

当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；

当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为（4分）

（2）由（1）当时，曲线C为，

设，分别过E取两垂直于坐标轴的两条弦CD，，

则，即

解得，∴E若存在必为定值为6.（6分）

下证满足题意.

设过点E的直线方程为，代入C中得:

，设、，

则，，（8分）

.

同理可得E也满足题意.

综上得定点为E，定值为（13分）

考点：直线和圆的方程的应用，圆锥曲线的定义、性质与方程，轨迹方程的问题.