Question

已知数列满足，向量，且.

（1）求证数列为等差数列，并求通项公式；

（2）设，若对任意都有成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先利用向量垂直结合向量坐标运算得到，并在等式两边同时除以得到，结合定义证明数列为等差数列，并确定其首项和公差，求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式；（2）先确定数列的通项公式，将不等式等价转化为，利用作商法研究数列的单调性，并确定数列的最小项，解不等式

求出实数的取值范围.

（1）因为，所以，

即，，

所以数列为等差数列，且，；

（2）可知，令，得，

即当，，都有，

而，故，

从而，解得.

考点：1.定义法证明等差数列；2.数列的单调性；3.数列不等式恒成立