Question

设函数.

（1）当时，求函数在区间内的最大值；

（2）当时，方程有唯一实数解，求正数的值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先求出导数方程的根，对此根与区间的位置关系进行分类讨论，确定函数在区间上的单调性，从而求出函数在区间上的最大值；（2）构造函数，

利用导数求出函数的极值点，并确定函数的单调性，得到，消去并化简得到，通过构造函数并利用导数研究函数的单调性并结合，得到，从而求出的值.

（1），，

令得. 因为时，，时，，

所以在递增，在递减；

①当时，即时，在上递减，

所以时取最大值；

②当时，即时，在递增，在递减，

所以时，取最大值；

③当即时，在递增，

所以时取最大值；

（2）因为方程有唯一实数解，即有唯一实数解，

设，则，

令，，因为，，

所以（舍去），，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以最小值为，

则，即，

所以，即，

设，

，恒成立，故在单调递增，

至多有一解，

又，所以，即，解得.

考点：1.分类讨论；2.函数的最值；3.函数的零点