Question

如图所示，空间中有一直角三角形，为直角，，，现以其中一直角边为轴，按逆时针方向旋转后，将点所在的位置记为，再按逆时针方向继续旋转后，点所在的位置记为.

（1）连接，取的中点为，求证：面面；

（2）求与平面所成的角的正弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用与全等得到和，再利用三线合一得到，，利用直线与平面垂直的判定定理得到平面，再利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（2）取的中点，连接，过点作的垂线，垂足为点，

于是得到为直线与平面所成的角，利用中位线得到，于是得到直线与平面所成的角等于，最后在计算即可.

（1）由题意可知：与全等，

，，为的中点，

，，

又，平面，平面，

平面平面；

（2）由题意可知：为的中点，取的中点为，连接，

过作的垂线，垂足为，连接，

由（1）可知面面，面，

是在平面上的射影，为与平面所成的角，

，，

，，

，

，与平面所成的角和与平面所成的角相等，

与平面所成的角的正弦值为.

考点：1.平面与平面垂直的判定；2.直线与平面所成的角