Question

甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液，从甲容器中取出溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为：，，第次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：、.

（1）请用、分别表示和；

（2）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题中条件归纳出第次调和时乙容器中溶质的量等于从甲容器中取出的溶质的量以及从乙容器中本身的溶质的量之和，从而得到与和之间的关系，利用同样的方法得到与与，从而实现利用和来表示；（2）利用（1）中的表达式并结合定义得到数列为等比数列，求出该数列的首项与公比，确定数列的通项公式，然后解不等式，求出相应的即可.

（1）由题意可设在第一次调和后的浓度为，，

；

（2）由于题目中的问题是针对浓度之差，所以，我们不妨直接考虑数列．

由（1）可得：

，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．

所以，，

由题，令，得．所以，，

由得，所以，.

即第次调和后两溶液的浓度之差小于.

考点：1.递推数列；2.指数不等式