Question

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点与左右两焦点、构成的三角形中面积的最大值为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，连接与椭圆的另一交点记为，若与椭圆相切时、不重合，连接与椭圆的另一交点记为，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先利用已知条件列举出有关、、的方程组，结合三者之间满足的勾股关系求出、、的值，从而确定椭圆的方程；（2）设直线与的方程分别为以及，将两条直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到点与点之间的关系（关于轴对称），从而得到两点坐标之间的关系，最后将利用点的坐标进行表示，注意到坐标的取值范围，然后利用二次函数求出的取值范围.

（1）由题可知：，，

解得：，，，

故椭圆的方程为：；

（2）不妨设、、，

由题意可知直线的斜率是存在的，故设直线的斜率为，直线的斜率为

的方程为： 代入椭圆方程，得

，，

将，代入解得：，

的方程为：代入椭圆方程，得

，，

将，，代入解得：，

，又、不重合，，

，

.

考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.二次函数；4.向量的数量积