Question

已知函数 ，.

（1）已知区间是不等式的解集的子集，求的取值范围；

（2）已知函数，在函数图像上任取两点 、，若存在使得恒成立，求的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）将不等式在区间上恒成立等价转化为，然后利用导数

中对参数进行分类讨论，确定函数在区间上的单调性，从而确定函数在区间的最小值，从而求出参数的取值范围；（2）将不等式进行变形得到，构造函数，于是将问题转化在区间单调递增来处理，得到，即，围绕对的符号进行分类讨论，通过逐步构造函数对不等式进行求解，从而求出实数的取值范围.

（1）

①当时，，在区间上为增函数

由题意可知，即，；

②当时，，解得：，

，；，，

故有：当，即：时，即满足题意

即，构建函数，

，当时为极大值点，有，

故不等式无解；

当，即时，，即，

解得： ，；

当，即时，，即，

解得：，；

综上所述: ；

（2）由题意可知：，可设任意两数，

若存在使得成立，即: ，

构建函数：，为增函数即满足题意，即恒成立即可

，构建函数，,

当时，，为增函数

则不存在使得恒成立， 故不合题意；

当时，，可解得；

当时，可知，即为极小值点，也是最小值点，

，由于存在使得该式恒成立，

即， 由（1）可知当时，，

综上所述的最大值为.

考点：1.分类讨论；2.构造函数法