Question

已知椭圆的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且，的面积为1（其中为坐标原点）.

（1）求椭圆的方程；

（2）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM，交椭圆于点，证明：为定值；

（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

(1).（2）见解析；(3)存在，使得以为直径的圆恒过直线、的交点.

【解析】

试题分析：(1)由已知:,可得,,可得椭圆方程为.

（2）由（1）知，设.根据知.

由消去,整理得:,

应用韦达定理得

利用平面向量的坐标运算即得(定值).

(3)以为直径的圆恒过的交点,

由，建立Q坐标的方程.

试题解析：(1)由已知:,,,

所以椭圆方程为. 4分

（2）由（1）知，.

由题意可设.

由消去,整理得:,

.,

(定值). 9分

(3)设.

若以为直径的圆恒过的交点,

则.

由(2)可知:,

,

即恒成立,

∴存在，使得以为直径的圆恒过直线、的交点. 13分

考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的坐标运算.