Question

设函数

（1）若，求函数在上的最小值；

（2）若函数在存在单调递增区间，试求实数的取值范围；

（3）求函数的极值点.

Answer

（1）最小值为.（2）.

（3）当时，函数没有极值点；时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.

【解析】

试题分析：（1）的定义域为，根据，得在上增函数，当时，取得最小值.

（2）由于,设.

依题意,在区间上存在子区间使得不等式成立.

根据或，解得实数取值范围是.

（3）由，令.分，讨论的符号及驻点情况.

1)当时，在上恒成立，，此时，函数没有极值点.

2)当时，

①当即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.

②当即时，

当时，易知，这时；

当或时，易知，这时.

时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.

解答本题的主要难度在于转化思想与分类讨论思想的利用.

试题解析：（1）的定义域为，，在上增函数，当时，取得最小值，在上的最小值为. 4分

（2）,设.

依题意,在区间上存在子区间使得不等式成立.

注意到抛物线开口向上,所以只要或即可.

由得,解得，

由得,得，

，即实数取值范围是. 8分

（3），令。

1)显然，当时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.

2)当时，

①当即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.

②当即时，

当时，易知，这时；

当或时，易知，这时.

时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.

综上，当时，函数没有极值点；时，是函数的极大值点；是函数的极小值点. 13分

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，分类讨论思想.