Question

如图，在三棱锥中，,,为的中点，,=.

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）欲证面面垂直，应先证线线垂直、线面垂直.注意到在中的边长关系，应用勾股定理逆定理可得为直角三角形，．

又，且是的中点，可得，从而证得平面，即证得

平面平面．

（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用“向量法”求解.

确定平面的一个法向量为，

根据，得到直线与平面所成角的正弦值为．

试题解析：（1）证明：在中，，

，

，

则为直角三角形，

所以，．

又由已知，

且是的中点，可得

又，

平面

又面

平面平面．（6分）

（2）以点为坐标原点，建立如图

所示直角坐标系，

则，

．

设平面的法向量为，则有

即

解得：，

所以，平面的一个法向量为，

，

故直线与平面所成角的正弦值为．（12分）

考点：垂直关系，线面角的计算，空间向量的应用.