Question

已知椭圆()的短轴长为2，离心率为．过点M（2,0）的直线与椭圆相交于、两点,为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围；

（3）若点关于轴的对称点是，证明：直线恒过一定点.

Answer

（1）.（2）.（3）直线过定点.

【解析】

试题分析：（1）由已知得,得.

（2）设：，与椭圆的方程联立,消去得

.由△＞0得.

设,则.

将

表示成为

由，求得范围是.

（3）由对称性可知N，定点在轴上.

在直线方程AN：中，令得:

,得证.

试题解析：（1）易知，得,故.

故方程为.（3分）

（2）设：，与椭圆的方程联立,消去得

.由△＞0得.

设,则.

∴

=

，∴，

故所求范围是.（8分）

（3）由对称性可知N，定点在轴上.

直线AN：，令得:

,

∴直线过定点.（13分）

考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的坐标运算.