Question

已知函数，．

（1）若直线恰好为曲线的切线时，求实数的值；

（2）当，时（其中无理数），恒成立，试确定实数的取值范围．

Answer

（1）.（2）实数的取值范围是[．

【解析】

试题分析：（1）切点处的导函数值，为切线的斜率.因此，设切点为，可得，即，

由（1）解得或.分别代人（2）讨论得到.

（2）由得：（4），

可化为：；

只需讨论确定，，，的最大值.

试题解析：（1）设切点为，由题意得：

，即，

由（1）解得或.（4分）

将代入（2）得：.

将代入（2）得：（3），

设，则，

所以在（0,2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，，所以方程（3）无实数解。（6分）所以，.

（2）由得：（4），

由知：在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

所以,的最小值为，

所以不等式（4）可化为：；（8分）

设，，，

当，时，，所以；

当，1）时，，所以；

所以在上单调递减，在[1，]上单调递增,

所以，又，，

，又，所以，

所以，，

所以，当，时，恒成立时实数的取值范围是[．（13分）

备注：解答题的其它解法可相应给分。

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，导数的几何意义.