Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB= 60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB= CD= CF．

（1）求证：BD⊥平面AED；

（2）求二面角F—BD—C的正切值．

Answer

（1）详见解析；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）要证明直线和平面垂直，只需证明直线和平面内的两条相交直线垂直．由已知得，故只需证明，在中，由余弦定理得的关系，即的关系确定，在中，结合已知条件可判定是直角三角形，且，从而可证明BD⊥平面AED；（2）求二面角，可先找后求，过作，由已知FC⊥平面ABCD，得面，故，，故为二面角F—BD—C的平面角，在中计算．

（1）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB= 60°，，由余弦定理可知，

，即，在中，，，则是直角三角形，且，又，且，故BD⊥平面AED．

（2）过作，交于点，因为FC⊥平面ABCD，面，所以，所以

面，因此，，故为二面角F—BD—C的平面角.

在中，，可得

因此. 即二面角F—BD—C的正切值为2.

考点：1、直线和平面垂直的判定；2、二面角.