Question

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，不等式恒成立，求实数的取值范围．    [来源:学科

Answer

（1）单调递增区间为；递减区间为；（2）

【解析】

试题分析：（1）先求，解不等式，并和定义域求交集，得单调递增区间；解不等式，并和定义域求交集，得单调递减区间；（2）构造函数

，由题意得，，求，并解的根，讨论根与定义域的位置关系，若根在定义域外，则函数单调，利用单调性求函数的最大值；若根是内点，则将定义域分段，分别考虑导函数符号，判断函数的大致图象，并求最大值．

（1）当时，，

，由，得；由，得，故函数的单调递增区间为；递减区间为．

（2）因为函数图像上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，设，只需即可.由

，

（ⅰ）当时，，故，则函数在上单调递减，故成立，（ⅱ）当时，令，得，①若，即，函数在区间单调递增，时，，此时不满足条件，②若，即时，则函数在上单调递减，在区间单调递增，故当时，，此时不满足条件，

当是，由，因为，所以，所以，故函数在上单调递减，故成立.

综上所述，实数a的取值范围是.

考点：1、利用导数求函数的最值；2、利用导数判断函数的单调性．