Question

在如图所示的几何体中，平面，∥， 是的中点，，．

（1）证明：∥平面；

（2）求二面角的大小的余弦值．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的一条直线平行，取中点，连接，则，且，由已知得，且，故，则四边形是平行四边形，可证明，进而证明∥平面，或可通过建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标，证明直线的方向向量垂直于平面的法向量即可；（2）先求半平面和的法向量的夹角的余弦值，再观察二面角是锐二面角还是钝二面角，来决定二面角的大小的余弦值的正负，从而求解．

（1）因为，∥，所以平面．

故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则相关各点的坐标分别是，，，，

， ．

所以，

因为平面的一个法向量为，

所以，

又因为平面，所以平面． 6分

（2）由（1）知，，，．

设是平面的一个法向量，由 得

，取，得，则

设是平面的一个法向量，由得

，取，则，则

设二面角的大小为，则，故二面角的大小的余弦值为．

考点：1、直线和平面平行的判断；2、二面角的求法.