Question

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求；

（2）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，依题意，两人累计得分的可能值为，故事件“”的对立事件为“”，所以所求事件的概率；（2）因为每次抽奖中奖与否互不影响，且对方案甲或方案乙而言，中奖的概率不变，故对于张三、李四两人抽奖可看成两次独立重复试验，其中奖次数服从二项分布，设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则X1～，X2～B，则累计得分的期望为E(2X1)，E(3X2)，从而比较大小即可.

（1）由已知得，张三中奖的概率为，李四中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．

记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，

因为×，所以＝1－×=，所以 . 6分

（2）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，

则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，

选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．

由已知可得，X1～，X2～B，

所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×，

从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝6.

若，即，所以；

若，即，所以；

若，即，所以．

综上所述：当时，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当时，他们都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当时，他们都选择方案甲或乙进行抽奖时，累计得分的数学期望相等. 12分

考点：1、对立事件；2、二项分布的期望.