Question

已知A、B为抛物线C：y² = 4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l₁、l₂分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l₁、l₂的交点.

（1）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；

（2）设C、D为直线l₁、l₂与直线x = 4的交点，求面积的最小值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）设， （），方程为，与抛物线方程联立，利用直线与抛物线y2 = 4x相切，故，求，故切线的方程。同理可求得切线方程为，联立得交点，再注意到已知条件直线AB过抛物线C的焦点F，故表示直线AB的方程为，将抛物线焦点代入，得，从而发现点P横坐标为，故点P在定直线上；（2）列面积关于某个变量的函数关系式，再求函数最小值即可，由已知得，，，故，又高为，故三角形的面积为，再求最小值即可．

（1）设， （）.

易知斜率存在，设为，则方程为.

由得， ①

由直线与抛物线相切，知.

于是，，方程为.

同理，方程为.

联立、方程可得点坐标为 ，

∵ ，方程为，

过抛物线的焦点.

∴，∴，点P在定直线上.

（2）由（1）知，的坐标分别为，

∴.

∴ .

设（），，

由知，，当且仅当时等号成立.

∴ .

设，则.

∴ 时，；时，.在区间上为减函数；

在区间上为增函数.∴ 时，取最小值.

∴ 当，，

即，时，面积取最小值. 13分

考点：1、直线和抛物线的位置关系；2、函数的最小值.