Question

如图,在四棱锥中,平面,,且,点在上.

（1）求证:；

（2）若二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）要证明直线和直线垂直，往往利用直线和平面垂直的性质，先证明线面垂直，进而证明直线和直线垂直．本题可先证明平面，因平面,所以,故只需证明，可放在中利用平面几何的知识证明；（2）以以为原点,分别以射线为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.分别表示相关点的坐标，通过二面角的大小为，确定点的坐标，再求直线的方向向量和面的法向量的夹角余弦，其绝对值即所求与平面所成角的正弦值．

（1）如图,设为的中点,连结,

则,所以四边形为平行四边形,

故,又,

所以,故,

又因为平面,所以,

且,所以平面,故有 5分

（2）如图,以为原点,分别以射线

为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.

则,

设,易得,

设平面的一个法向量为,则,

令得,即.

又平面的一个法向量为,

由题知,解得,

即,而是平面的一个法向量,

设平面与平面所成的角为,则.

故直线与平面所成的角的正弦值为. 12分

考点：1、直线和平面垂直的判定和性质；2、直线和平面所成的角；3、二面角的求法.