Question

如图,矩形是一个观光区的平面示意图,建立平面直角坐标系,使顶点在坐标原点分别为轴、轴,(百米),(百米)()观光区中间叶形阴影部分是一个人工湖,它的左下方边缘曲线是函数的图象的一段.为了便于游客观光,拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直路(宽度不计),要求其与人工湖左下方边缘曲线段相切(切点记为),并把该观光区分为两部分,且直线左下部分建设为花圃.记点到的距离为表示花圃的面积.

（1）求花圃面积的表达式；

（2）求的最小值.

Answer

（1） ；（2）

【解析】

试题分析：（1）为了求花圃的面积，首先判断直线左下部分花圃的形状，故先求过点的求切线方程，根据横截距和纵截距的取值范围分为三类：①；②；③，花圃形状分别为直角三角形、直角梯形、直角梯形，因其面积表达式不同，故分类三类，并以分段函数的形式给出；（2）分段函数是一个函数，故可分段来求最小值，再比较，哪个值最小，哪个即最小值．当时，，；利用导数来求最小值；当时，，利用二次函数的图象来求最小值．

（1）由题意可设,又因,所以过点的切线方程为

,即,

切线与轴交于点,与轴交于点,

①当,即时,切线左下方区域为直角三角形.

所以;

②当,即时,切线左下方区域为直角梯形.

所以;

③当,即时,切线左下方区域为直角梯形.

所以;

综上有, 7分

（2）①当时,,当时,;

②当时,,

所以在上递减,所以,

下面比较与的大小,由于,

所以可知即求. 13分

考点：1、分段函数；2、二次函数；3、利用导数求函数的最值.