Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面,AC=BC,点D是AB的中点．

(1)求证：BC₁∥平面CA₁D；

(2)求证：平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B；

(3)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB₁=求三棱锥B₁-A₁DC的体积．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）1.

【解析】

试题分析：证明（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE

因为四边形AA1C1C是矩形，知E为AC1的中点

又D是AB的中点，得到DE∥BC1，

从而可得BC1∥面CA1.

证明（2）由AC=BC，D是AB的中点，得AB⊥CD，

由AA1⊥面ABC，得AA1⊥CD，

从而CD⊥面AA1B1B，进一步得平面CA1D⊥平面AA1B1B.

（3）利用，可求得体积.

试题解析：证明（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE

因为四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点

又D是AB的中点，DE∥BC1，

又DE面CA1D，BC1面CA1D，BC1∥面CA1 (４分)

证明（2）AC=BC，D是AB的中点，AB⊥CD，

又AA1⊥面ABC，CD面ABC，AA1⊥CD，

AA1∩AB=A，CD⊥面AA1B1B，CD面CA1D，

平面CA1D⊥平面AA1B1B (８分)

（3）【解析】
,则（2）知CD⊥面ABB1B，所以高就是CD=，BD=1，BB1=，所以A1D=B1D=A1B1=2,, (1２分)

考点：平行关系，垂直关系，几何体的特征，几何体的体积.