Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于、两点，且，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

Answer

（1）.（2）为定值.

【解析】

试题分析：（1）由已知建立方程组，求得.

（2）设，由得

，根据，得.应用韦达定理得到

根据,,,

得到,从而有

，计算得到

试题解析：（1）由题意知，∴，即，

又，∴，

故椭圆的方程为. 4分

（2）设，由得

，

，.

7分

8分

,,,

,

12分

考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，函数的单调性与最值.