Question

已知.

（1）求函数在上的最小值；

（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：对一切，都有成立.

Answer

（1）.（2）.（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）遵循“求导数，求驻点，讨论单调性，确定最值.”即得.

（2）由，转化得到，

只需求的最小值，

使.

（3）问题等价于证明，

由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到.

设，应用导数可知

，当且仅当时取到，

从而对一切，都有成立.

试题解析：（1）.

当单调递减，当单调递增 2分

，即时，； 4分

，即时，在上单调递增，．

所以. 4分

（2），则，

设，则， 6分

①单调递减，②单调递增，

所以，对一切恒成立，

所以. 8分

（3）问题等价于证明，

由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到 10分

设，则，易知

，当且仅当时取到，

从而对一切，都有成立. 12分

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，不等式恒成立问题.