Question

（已知抛物线（）的准线与轴交于点．

（1）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；

（2）是否存在过焦点的直线（直线与抛物线交于点，），使得三角形的面积？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）参考解析；（2）存在，或

【解析】

试题分析：（1）由抛物线（）的准线与轴交于点，可求得的值，即可得到抛物线方程与焦点坐标

（2）由于过焦点的直线可能垂直于x轴，依题意不可能垂直于y轴，所以假设直线.再联立抛物线方程，由韦达定理以及弦长公式即可得到AB的弦长.由点到直线的距离公式即可得到点M到直线AB的距离.再由即可求出结论.

解法一：（1）由已知得：，从而抛物线方程为，

焦点坐标为． 4分

（2）由题意，设，并与联立，

得到方程：， 6分

设，，则，． 7分

∵，∴ ， 9分

又，∴ 10分

解得， 11分

故直线的方程为：．即或． 12分

解法二：（1）（同解法一）

（2）当轴时，，，

不符合题意． 5分

故设（），并与联立，

得到方程：， 6分

设，，则，． 7分

，

点到直线的距离为， 9分

∴， 10分

解得， 11分

故直线的方程为：．即或． 12分

考点：1.抛物线的性质.2.直线与抛物线的关系.3.弦长公式，点到直线的距离.4.运算能力.