Question

设向量，定义一种向量积．

已知向量，，点为的图象上的动点，点

为的图象上的动点，且满足（其中为坐标原点）．

（1）请用表示；

（2）求的表达式并求它的周期；

（3）把函数图象上各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.设函数，试讨论函数在区间内的零点个数.

Answer

（1）；（2）参考解析；（3）参考解析

【解析】

试题分析：（1）由向量，定义一种向量积，所以，，所以根据新定义运算关系可得到的结果. 点为的图象上的动点，所以可以将用表示即可得结论.

（2）由（1）以及又可得.又点为的图象上的动点，所以可求得函数的表达式并求它的周期.

（3）由（2）以及把函数图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，即可得到函数的解析式，以及函数在递增，分类讨论即可得到结论.

（1）， 2分

（2），

所以， 4分

因此即 6分

所以，它的周期为． 8分

（3）在上单调递增，在上单调递减，

又， 10分

函数在区间内只有一个零点；

函数在区间内有两个零点；

当或时，函数在区间内没有零点． 12分

考点：1.三角函数的性质.2.向量的数量积.3.新定义问题.